B4.6: H σφαίρα και τα στοιχεία της

4.6.	H σφαίρα και τα στοιχεία της

Τα διπλανά σχήματα μάς δίνουν την έννοια της σφαίρας. Αν έχουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) και τον περιστρέψουμε γύρω από μία διάμετρο του ΑΒ, παρατηρούμε ότι σχηματίζεται μια σφαίρα.

Σφαίρα λέγεται το στερεό σώμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από μία διάμετρό του.

Κατά την περιστροφή ο κύκλος δημιουργεί την επιφάνεια της σφαίρας.

Επομένως, η απόσταση ενός οποιουδήποτε σημείου της επιφάνειας μιας σφαίρας από το κέντρο Ο είναι ίση με την ακτίνα ρ.

Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της σφαίρας και η ακτίνα ρ του κύκλου λέγεται ακτίνα της σφαίρας.

Σχετικές θέσεις επιπέδου και σφαίρας

Μία σφαίρα και ένα επίπεδο στο χώρο έχουν τη δυνατότητα να τοποθετηθούν κατά τρεις διαφορετικούς τρόπους, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα:

α) Να μην τέμνονται μεταξύ τους.

β) Να εφάπτονται σε ένα σημείο.

γ) Να τέμνονται σε κύκλο.

Παρατηρούμε ότι ο κύκλος που αποτελεί την τομή του επιπέδου με τη σφαίρα, «μεγαλώνει» όσο το επίπεδο «πλησιάζει» στο κέντρο της σφαίρας. Όταν το κέντρο της σφαίρας ανήκει στο επίπεδο, τότε ο κύκλος στον οποίο τέμνονται ονομάζεται μέγιστος κύκλος της σφαίρας.

Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας

Όπως είδαμε, η επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή ενός κύκλου (Ο, ρ) γύρω από μια διάμετρό του, αποτελεί την επιφάνεια της σφαίρας.

Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες με τον Αρχιμήδη υπολόγισαν το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας και μάλιστα συγκρίνοντάς την με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου!

Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι, αν μια σφαίρα «εγγράφεται» σε κύλινδρο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η επιφάνεια της σφαίρας είναι ίση με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου.

Tο προηγούμενο συμπέρασμα διατυπώνεται και ως εξής:

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ισούται με το εμβαδόν τεσσάρων μεγίστων κύκλων της.

Όγκος της σφαίρας

Ας κατασκευάσουμε μια σφαίρα ακτίνας ρ και δύο κυλίνδρους με βάση κύκλο ακτίνας ρ και ύψος υ = 2ρ.

Γεμίζουμε διαδοχικά με αλεύρι τρεις φορές τη σφαίρα και αδειάζουμε το αλεύρι στους δύο κυλίνδρους.

Τελειώνοντας βλέπουμε ότι οι δύο κύλινδροι είναι τελείως γεμάτοι. Επομένως, ο τριπλάσιος όγκος σφαίρας ακτίνας ρ ισούται με τον διπλάσιο όγκο κυλίνδρου με ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ = 2ρ:

Δίνεται σφαίρα ακτίνας ρ = 2 cm. Να βρείτε:

α) το εμβαδόν Ε της επιφάνειάς της,

β) τον όγκο της.

Λύση:

2
Η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι 144π (m²). Nα βρείτε τον όγκο της.

Λύση:

3
Nα βρείτε πόσα χρήματα θα χρειαστούμε, για να βάψουμε μία σφαιρική δεξαμενή διαμέτρου δ = 20 m, αν το ένα κιλό χρώμα κοστίζει 8 € και καλύπτει επιφάνεια 4 m².

Λύση:

4
Nα βρείτε το εμβαδόν της τομής επιπέδου και σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R = 5 cm, όταν το επίπεδο απέχει από το κέντρο της σφαίρας απόσταση d = 3 cm.

Λύση:

ΣΩΣΤΟ

ΛΑΘΟΣ

To εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι τετραπλάσιο από το εμβαδόν ενός μέγιστου κύκλου της.

Σε μια σφαίρα ακτίνας 3 cm το εμβαδόν της επιφάνειας και ο όγκος της εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό.

Η τομή σφαίρας και επιπέδου που διέρχεται από το κέντρο της είναι πάντα κύκλος.

Η τομή σφαίρας και επιπέδου που δε διέρχεται από το κέντρο της είναι πάντα κύκλος.

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός μέγιστου κύκλου της με τη διάμετρο αυτής.

Δύο σφαίρες με ακτίνες 5 cm και 12 cm είναι γεμάτες με νερό. Αν αδειάσουμε το περιεχόμενό τους σε μία τρίτη σφαίρα με ακτίνα 13 cm, τότε:

A: Η τρίτη σφαίρα θα γεμίσει πλήρως.

Β: Η τρίτη σφαίρα θα ξεχειλίσει.

Γ: Η τρίτη σφαίρα δε θα γεμίσει.

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, τότε ο όγκος της:

A: Διπλασιάζεται Β: Τριπλασιάζεται Γ: Τετραπλασιάζεται Δ: Οκταπλασιάζεται.

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Ένα τμήμα ΑΒ έχει μήκος 6 cm. Ένα σημείο Σ απέχει 4 cm από το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Τότε:

A: Το Σ ανήκει στη σφαίρα διαμέτρου ΑΒ.

Β: Το Σ ανήκει στο εσωτερικό της σφαίρας διαμέτρου ΑΒ.

Γ: Το Σ βρίσκεται εξωτερικά της σφαίρας διαμέτρου ΑΒ.

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ακτίνας ρ και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου με την ίδια ακτίνα έχουν λόγο:

A: 1 Β:1/2 Γ:1/3 Δ: 4

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

10.

Όταν μία σφαίρα ακτίνας ρ «εγγράφεται» σε κύλινδρο, τότε η επιφάνεια της σφαίρας είναι:

A: διπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου

Β: τριπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου

Γ: τετραπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου

Δ: ίση με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

1.	Να συμπληρώσετε τους πίνακες:
2.	Η διάμετρος μιας σφαίρας είναι δ = 4 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο της σφαίρας.
3.	Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας, καθώς και τον όγκο ημισφαιρίου ακτίνας R = 4 m.
4.	Mε ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, ώστε το εμβαδόν της επιφάνειάς της να πολλαπλασιαστεί επί 4; επί 36; επί 100;
5.	Να βρείτε την ποσότητα του χρώματος που χρειάζεται, για να βαφεί σφαιρική δεξαμενή ακτίνας ρ = 10 m, αν το ένα κιλό χρώματος βάφει επιφάνεια 8 m².
6.	Tέσσερις κίτρινες μπάλες έχουν ακτίνα 5 cm και πέντε κόκκινες μπάλες έχουν ακτίνα 4 cm. Ποιου χρώματος μπάλες έχουν τη μεγαλύτερη συνολική επιφάνεια και ποιου χρώματος μπάλες έχουν το μεγαλύτερο συνολικό όγκο;

7.	Σε κιβώτιο που έχει σχήμα κύβου χωράει ακριβώς μια σφαίρα με ακτίνα 40 cm. Nα βρείτε το μέρος του κιβωτίου που μένει άδειο.
8.	Δύο σφαίρες έχουν διαμέτρους 30 cm και 40 cm. Να υπολογίσετε τη διάμετρο μιας τρίτης σφαίρας, της οποίας το εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών των δύο σφαιρών.
9.	Στο παρακάτω σχήμα οι δύο μικρές σφαίρες έχουν διαμέτρους ΑΟ=ΟΒ= 4cm, και περιέχονται στη μεγάλη σφαίρα κέντρου Ο και ακτίνας ρ = ΟΑ = ΟΒ. Nα βρείτε τον όγκο του γραμμοσκιασμένου στερεού.