4.3.	Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

Συχνότητες

Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών Γυμνασίου πόσες ώρες περίπου βλέπουν τηλεόραση την εβδομάδα.

Οι απαντήσεις τους (με τη σειρά που καταγράφηκαν) φαίνονται στο διπλανό πίνακα.

Οι αριθμοί αυτοί λέγονται παρατηρήσεις.

Τα αποτελέσματα αυτά, όμως, έτσι όπως είναι τοποθετημένα, δε μας δίνουν μια σαφή εικόνα της έρευνας.

Δε φαίνεται εύκολα, δηλαδή, πόσοι μαθητές βλέπουν τηλεόραση π.χ. 5 ώρες την εβδομάδα και πόσοι 3 ώρες

την εβδομάδα. Για το λόγο αυτό, τοποθετούμε τα παραπάνω στατιστικά δεδομένα, σε έναν πίνακα, ως εξής:

Όπως βλέπουμε:

	Στην πρώτη στήλη του παραπάνω πίνακα έχουμε γράψει κατά σειρά μεγέθους το πλήθος των ωρών που μπορεί κάποιος μαθητής να έχει παρακολουθήσει τηλεόραση. Οι αριθμοί αυτοί είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 και λέγονται τιμές.
	Στη δεύτερη στήλη κάνουμε διαλογή των παρατηρήσεων. Δηλαδή, διαβάζουμε με τη σειρά τη λίστα των δεδομένων και καταγράφουμε κάθε παρατήρηση με συμβολικό τρόπο, με μία γραμμή για την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής. Για ευκολία στην καταμέτρηση σχηματίζουμε πεντάδες
	Στην τρίτη στήλη μεταφέρουμε τα αποτελέσματα της διαλογής. Έτσι, η απάντηση «βλέπω περίπου 3 ώρες την εβδομάδα τηλεόραση» εμφανίζεται 7 φορές. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η τιμή «3 ώρες» έχει συχνότητα 7. Ομοίως, η τιμή «4 ώρες» έχει συχνότητα 13 και η τιμή «7 ώρες» έχει συχνότητα 5. Γενικά, στον παραπάνω πίνακα φαίνεται πώς κατανέμονται οι 50 μαθητές του δείγματος ως προς το χαρακτηριστικό: «πόσες ώρες βλέπουν τηλεόραση την εβδομάδα». Για το λόγο αυτό, ο συγκεκριμένος πίνακας δίνει μια κατανομή συχνοτήτων.

Σχετικές Συχνότητες

Ο παραπάνω πίνακας μας δίνει κάποιες πληροφορίες, όπως για παράδειγμα, ότι η τιμή 4 έχει συχνότητα 13 (δηλαδή 13 από τους μαθητές απάντησαν ότι βλέπουν τηλεόραση 4 ώρες την εβδομάδα). Η συχνότητα όμως αυτή (δηλαδή ο αριθμός 13) δεν έχει καμιά αξία μόνη της, αν δεν αναφερθεί ο αριθμός των μαθητών που ρωτήθηκαν.

Πράγματι, άλλη αξία έχει η συχνότητα 13 στους 50 και άλλη θα έχει η συχνότητα 13 στους 100 ή 13 στους 1000 μαθητές. Δηλαδή, είναι ανάγκη να ξέρουμε τι μέρος του δείγματος αποτελούν οι 13 μαθητές.

Το μέρος αυτό εκφράζεται με το κλάσμα , το οποίο λέγεται σχετική συχνότητα της τιμής 4.

Συνήθως, τη σχετική συχνότητα τη μετατρέπουμε σε ποσοστό επί τοις εκατό %.

Έτσι, έχουμε:

Δηλαδή, το 26% των μαθητών αυτού του Γυμνασίου βλέπει 4 ώρες την εβδομάδα τηλεόραση.

Για να βρούμε τη σχετική συχνότητα μιας τιμής, διαιρούμε τη συχνότητα της τιμής αυτής με το πλήθος όλων των παρατηρήσεων. Στη συνέχεια, εκφράζουμε τον αριθμό αυτό ως ποσοστό επί τοις εκατό (%).

Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε όλες τις σχετικές συχνότητες του πίνακα συχνοτήτων που είναι αντίστοιχα:

Τώρα μπορούμε προσθέτοντας μια ακόμη στήλη στον πίνακα 1 να έχουμε έναν πίνακα, στον οποίο να φαίνονται

οι τιμές, οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσεων της έρευνας.

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων.

	Παρατηρούμε ότι: το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος.
	Επίσης, το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων ισούται με 100. Χρησιμοποιώντας τώρα τα στοιχεία του πίνακα 2 μπορούμε να έχουμε και μια εποπτική εικόνα της έρευνας, κάνοντας διαγράμματα, όπως τα παρακάτω:

Στο διπλανό πίνακα έχουμε συγκεντρώσει τα αποτελέσματα μιας έρευνας, που έγινε σε μια κωμόπολη σχετικά με το πλήθος των παιδιών που έχει κάθε οικογένεια.

Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

		Α	Β	Γ	Δ
1.	Το συνολικό πλήθος οικογενειών που ρωτήθηκαν είναι:	5	6	40	12
2.	Η συχνότητα της τιμής 4 είναι:	3	6	40	2
3.	Η σχετική συχνότητα των οικογενειών που δεν έχουν παιδιά είναι:
4.	Η σχετική συχνότητα των οικογενειών που έχουν 3 παιδιά ως ποσοστό επί τοις εκατό είναι:
5.	Αν κατασκευάσουμε κυκλικό διάγραμμα, η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στις οικογένειες που έχουν 1 παιδί είναι

2.	Μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών ενός Γυμνασίου της Κρήτης, σχετικά με τις ποδοσφαιρικές προτιμήσεις τους, κατέληξε σε έντονη «διαφωνία» με αποτέλεσμα να «χαθούν» μερικά στοιχεία. Μπορείτε να βρείτε τα στοιχεία που λείπουν;

Ομάδες	Συχνότητες	Σχετικές συχνότητες (επί τοις %)
ΑΕΚ
ΠΑΟΚ		5
ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ	30
ΠΑΝΑΘΗΝΑΪΚΟΣ		10
ΟΦΗ	70	35
ΕΡΓΟΤΕΛΗΣ	30
Σύνολο

1.	Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: Αριθμός παιδιών των οικογενειών ενός χωριού Αριθμός απουσιών των μαθητών μιας τάξης κατά το Νοέμβριο
2.	Ο αριθμός των γεννήσεων σ' ένα μαιευτήριο τα έτη 2000 έως 2004 φαίνεται στο παρακάτω ραβδόγραμμα: α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να μετατρέψετε το ραβδόγραμμα σε χρονόγραμμα. γ) Ποια χρονιά οι γεννήσεις παρουσίασαν αύξηση και ποια μείωση;
3.	Ο αριθμός των ελαττωματικών προϊόντων μιας βιοτεχνίας το πρώτο δεκαήμερο του Μαρτίου είναι: 0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 0, 1. α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να παρασταθούν τα δεδομένα με κυκλικό διάγραμμα. γ) Να παρασταθεί η κατανομή σχετικών συχνοτήτων με ραβδόγραμμα.
4.	Τα αποτελέσματα που πέτυχε μια ομάδα ποδοσφαίρου σε 34 αγώνες ήταν: Η, Η, Ι, Ν, Ι, Ι, Ι, Ι, Ν, Η, Ι, Η, Η, Ι, Ν, Ι, Η, Ν, Ι, Ι, Ι, Ν, Η, Η, Ι, Ι, Ι, Ι, Ι, Ι, Ν, Ι, Ν, Ν. (H = Ήττα, Ν = Νίκη, Ι = Ισοπαλία) α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να παρασταθεί η κατανομή σχετικών συχνοτήτων με ραβδόγραμμα και κυκλικό διάγραμμα.
5.	Ο αριθμός των μηνυμάτων που έστειλε ανά ημέρα τον Ιούλιο ο Τάκης, είναι: 4, 5, 2, 1, 5, 4, 0, 4, 7, 3, 5, 2, 2, 6, 5, 3, 2, 3, 1, 7, 6, 4, 5,3, 3, 2, 2, 4, 2, 5, 2. α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε πόσες ημέρες τα μηνύματα ήταν περισσότερα από 3. γ) Να βρείτε το ποσοστό των ημερών στις οποίες τα μηνύματα ήταν το πολύ 3. δ) Να παραστήσετε την κατανομή σχετικών συχνοτήτων με ραβδόγραμμα.

Σε μια έρευνα που έγινε σε 25 μαθητές ως προς την ομάδα αίματος, έγιναν οι παρατηρήσεις:

Ο, Α, Α, Α, Ο, ΑΒ, Α, Β, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α,Ο, Β, Β, Β, Α, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α, Α, Α.

α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό.

β) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που έχουν ομάδα Α ή Β;

γ) Ποια ομάδα αίματος εμφανίζεται λιγότερο στο δείγμα;

Σε ένα διαγώνισμα με τέσσερις ερωτήσεις ο αριθμός των σωστών απαντήσεων φαίνεται στο κυκλικό διάγραμμα.

α) Να γίνει ο πίνακας σχετικών συχνοτήτων.

β) Αν κάθε σωστή ερώτηση βαθμολογείται με 5 μονάδες, να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που έχουν βαθμολογία μικρότερη ή ίση του 10.

Στο εικονόγραμμα δίνεται ο αριθμός των υπολογιστών που πούλησε μια εταιρεία το έτος 2003 για 4 μάρκες Α, Β, Γ, Δ.

α) Πόσους συνολικά υπολογιστές πούλησε η εταιρεία;

β) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων.

γ) Ποιο είναι το ποσοστό των υπολογιστών που δεν είναι μάρκας Α ή Β;