B3.6: Εμβαδόν κυκλικού τομέα

3.6.	Εμβαδόν κυκλικού τομέα

Ας θεωρήσουμε ένα κύκλο (Ο, ρ) και μια επίκεντρη γωνία μέτρου μ°.

Το μέρος του κυκλικού δίσκου που περιέχεται μέσα στη γωνία λέγεται κυκλικός τομέας γωνίας μ° του κύκλου (Ο, ρ).

Av η επίκεντρη γωνία

είναι μέτρου μ°, τότε και το αντίστοιχο τόξο της έχει μέτρο μ°, οπότε βρίσκουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα:

Τόξο σε μοίρες	360°	μ°
Εμβαδόν	πρ²	Ε

Αν το τόξο έχει μετρηθεί σε ακτίνια και ισούται με α rad, τότε πάλι έχουμε:

Τόξο σε ακτίνια (rad)	2π	α
Εμβαδόν	πρ²	Ε

Μια κυκλική πλατεία έχει ακτίνα ρ = 20 m. Ένας προβολέας είναι τοποθετημένος στο κέντρο της πλατείας και εκπέμπει μια δέσμη φωτός που φωτίζει ένα κυκλικό τομέα γωνίας 50°.

α) Να βρείτε το εμβαδόν της πλατείας.

β) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που φωτίζεται.

Λύση

α) Το εμβαδόν της πλατείας είναι: Ε = πρ² = 3,14 • 20² = 1256 (m²).

β) Γνωρίζουμε ότι όλη η πλατεία αντιστοιχεί σε τόξο 360° και έχει εμβαδόν 1256 m². Για να βρούμε το εμβαδόν ε του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε τόξο 50°, χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών, οπότε :

360°	50°
1256	ε

1
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα στον στίβο της σφαιροβολίας ακτίνας ρ = 24 m και γωνίας 65°.

Λύση:

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα δίνεται από τον τύπο:

O παρακάτω κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ και εμβαδόν 40 cm².

Να υπολογίσετε τα εμβαδά Ε₁, Ε₂, Ε₃, Ε₄.

Λύση:

1.	Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ακτίνα κύκλου	γωνία κυκλικού τομέα	εμβαδόν κυκλικού τομέα
ρ = 2 cm	μ = 60°
	μ = 45°	Ε = 8π cm²
ρ = 3 cm		Ε = 3π cm²

2.	Σ' έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ =.................. (cm) ο κυκλικός τομέας γωνίας 120° έχει μήκος τόξου 6π (cm) και εμβαδόν .....................(cm²). Να συμπληρώσετε τα κενά.
3.	Η ακτίνα ενός κύκλου είναι 12 cm. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 60° έχει εμβαδόν: Α: 24π (cm²) B: 36π (cm²) Γ: 54π (cm²) Δ: 108π (cm²). Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.
4.	Αν το εμβαδόν κυκλικού τομέα είναι 12,56 cm² και η γωνία του είναι 90°, η ακτίνα του κύκλου είναι: Α: 2 cm Β: 4 cm, Γ: 9 cm, Δ: 7 cm. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.
5.	Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα του κύκλου: Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: εξαπλασιάζεται Δ: εννιαπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

1.	Να υπολογιστεί η γωνία κυκλικού τομέα που έχει εμβαδόν ίσο με το του εμβαδού του κύκλου.
2.	Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 30° έχει εμβαδόν 1 m². Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.
3.	Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 1256 cm². Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα γωνίας 36°.
4.	Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας 45° είναι 20,25π cm². Να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου στον οποίο ανήκει ο τομέας.
5.	Δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ₁=3 cm και ρ₂=4 cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος.
6.	Ο υαλοκαθαριστήρας ενός αυτοκινήτου έχει μήκος 55 cm. Το σημείο περιστροφής απέχει από το λάστιχο καθαρισμού 15 cm. Αν ο υαλοκαθαριστήρας διαγράφει γωνία 120°, να υπολογίσετε την επιφάνεια που καθαρίζει.

7.	Να υπολογίσετε τα εμβαδά των γραμμοσκιασμένων καμπυλόγραμμων επιφανειών στα παρακάτω τετράγωνα:
8.	Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας στο σχήμα, αν οι αριθμοί εκφράζουν τα μήκη των αντίστοιχων τμημάτων σε cm.