3.3. | Η συνάρτηση y = αx
| # Ποσά ανάλογα – Η συνάρτηση y = αx Στην εφημερίδα διαβάζουμε διάφορες φράσεις, όπως: «... η τιμή της βενζίνης μειώθηκε ανάλογα με τη μείωση του πετρελαίου...». Οι φράσεις αυτές παρουσιάζουν ένα ποσό να μεταβάλλεται σε σχέση με κάποιο άλλο. Όπως γνωρίζουμε, δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.
1
Δίνονται τέσσερα τετράγωνα με πλευρές (σε cm) 0,5, 1, 1,5 και 2. α)Να συμπληρώσετε τον πίνακα β) Να εκφράσετε την περίμετρο y ενός τετραγώνου ως συνάρτηση του μήκους χ της πλευράς του.
## Λύση α) Για x = 0,5 η περίμετρος είναι y = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2. Ομοίως, βρίσκουμε την περίμετρο και στις άλλες περιπτώσεις, που είναι αντίστοιχα: 4, 6 και 8. Επίσης, για το λόγο έχουμε : β) Παρατηρούμε ότι ο λόγος είναι σταθερός πάντοτε και ίσος με 4. Άρα = 4 ή y = 4x. H σχέση αυτή εκφράζει το y ως συνάρτηση του x. Σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε και αρνητικές τιμές της μεταβλητής x στη συνάρτηση y = αx.
2
Aφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών, ο οποίος περιλαμβάνει και αρνητικές τιμές του x, να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Τι παρατηρείτε;
## Λύση Ομοίως, βρίσκουμε τις υπόλοιπες τιμές και συμπληρώνουμε τον πίνακα.
Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων παριστάνουμε τα σημεία με συντεταγμένες τα ζεύγη των τιμών του πίνακα. Παρατηρούμε ότι τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο. |
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.
Όταν αναφερόμαστε στην ευθεία, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx, τότε λέμε: η ευθεία με εξίσωση y = αx ή απλώς η ευθεία y = αx. Ο άξονας x'x είναι η ευθεία με εξίσωση y= 0x, δηλαδή y = 0.
# Η κλίση της ευθείας y = αx Παρατηρούμε ότι στην ευθεία y = αx ο λόγος είναι πάντα σταθερός και ίσος με α, δηλαδή: O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. Για παράδειγμα, η ευθεία y = –2x έχει κλίση –2.
1
Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την ευθεία με εξίσωση y = –0,6x.
Λύση: | H συνάρτηση y = –0,6x έχει γραφική παράσταση μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Επομένως, πρέπει να βρούμε ένα ακόμα σημείο της. Για x = 3 είναι y = –0,6 • 3 = –1,8. Άρα, η ευθεία περνάει από το σημείο Α(3, –1,8). Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. |
2
Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις y = x και y = – x.
Λύση: | Η συνάρτηση y = x έχει γραφική παράσταση μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο. Ένα δεύτερο σημείο της προσδιορίζεται δίνοντας μια τυχαία τιμή στο x εκτός της μηδενικής. Για x = 1 είναι y = 1, άρα η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(1, 1). Η ζητούμενη ευθεία είναι η ΟΑ. Ομοίως, βρίσκουμε ότι η γραφική παράσταση της y = – x είναι η ΟΒ. Παρατήρηση: Η ευθεία με εξίσωση y = x είναι διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων και η y = – x είναι διχοτόμος της 2ης και της 4ης γωνίας. |
3
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(–2, 1).
Λύση: | Το σημείο A έχει συντεταγμένες x = –2, y = 1, οπότε η κλίση της ευθείας είναι Επομένως, η εξίσωση της ευθείας είναι η
4
Ένα πολυκατάστημα κάνει έκπτωση 20% σε όλα του τα είδη. α) Πόση έκπτωση αναλογεί σ' ένα ζευγάρι παπούτσια το οποίο κοστίζει αρχικά 100 €; Ποια είναι η τιμή που θα το αγοράσουμε μετά την έκπτωση; β) Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα, με τις τιμές διαφόρων ειδών του καταστήματος και να εξετάσετε αν είναι ανάλογα τα ποσά x, y και τα ποσά x, ω γ) Να εκφράσετε τα ποσά y και ω ως συναρτήσεις του x. |
Λύση: | α) H έκπτωση που αναλογεί είναι οπότε θα το αγοράσουμε 100 - 20 = 80 €. β) Ομοίως, με το ερώτημα (α) συμπληρώνουμε τον πίνακα γ) Τα ποσά x και y είναι ανάλογα, γιατί: Επομένως, y = 0,2x. Τα ποσά x και ω είναι ανάλογα, γιατί: Επομένως, ω = 0,8x.
1. | Τα ποσά x και y είναι ανάλογα. α) Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα τιμών. β)Ποιος από τους παρακάτω τύπους εκφράζει το y ως συνάρτηση του x; Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. |
2. | Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι η y = 3x;
3. | Ποια από τις παρακάτω ευθείες έχει κλίση Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση
1. | Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα : α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. β) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x. γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή.
2. | Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις ευθείες: y = 2x, y = 3x και y = 5x.
3. | Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις ευθείες:
4. | Ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = 5 m/s. Να εκφράσετε το διάστημα S που διανύει ως συνάρτηση του χρόνου t. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή.
5. | Βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(2, 6).
6. | Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων μια ευθεία η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και να έχει κλίση 3/2.
7. | Να βρείτε την κλίση μιας ευθείας η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από το σημείο Α(-1, 3).
8. | Οι τιμές των αγροτικών προϊόντων σε μια χώρα αυξήθηκαν κατά 20% σ' ένα χρόνο. α) Να βρείτε τη σχέση που εκφράζει τις νέες τιμές y των αγροτικών προϊόντων, ως συνάρτηση των παλιών τους τιμών x. β) Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση. γ) Με τη βοήθεια της παραπάνω συνάρτησης να βρείτε: i) Τη σημερινή τιμή ενός προϊόντος που είχε πέρυσι 7 € iί)Την περσινή τιμή ενός προϊόντος που έχει τώρα 7 €.
9. | Η ισοτιμία του Ευρώ έναντι του Δολλαρίου την 21/7/03 ήταν 112 $ για 100 €. α) Να βρείτε τη σχέση που εκφράζει την τιμή y σε δολλάρια ενός προϊόντος ως συνάρτηση της τιμής x του προϊόντος αυτού σε Ευρώ. β) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε κατά προσέγγιση την τιμή σε δολλάρια ενός αεροπορικού εισιτηρίου που κοστίζει 250 €. γ) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε κατά προσέγγιση την τιμή σε Ευρώ ενός αεροπορικού εισιτηρίου κόστους 250 $.