3.1. | H έννοια της συνάρτησης
1
Κατά καιρούς ακούμε στην τηλεόραση για τις αυξήσεις στους μισθούς των εργαζομένων. Αυτή τη χρονιά ανακοινώθηκε αύξηση 3%. α) Δύο εργαζόμενοι έχουν μισθούς 800 € και 1100 € το μήνα. Πόση είναι η αύξηση που θα πάρει ο καθένας; β) Ένας εργαζόμενος έχει μισθό x €. Ποια είναι η αύξηση y που θα πάρει εφέτος;
## Λύση α) Η αύξηση θα είναι: για τον πρώτο εργαζόμενο: για τον δεύτερο εργαζόμενο: β) Η αύξηση θα είναι: Παρατήρηση: H σχέση y = 0,03x μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για άλλες τιμές της μεταβλητής x. Αν, για παράδειγμα, ένας εργαζόμενος έχει μισθό x = 700 €, η αύξηση που θα πάρει θα είναι y = 0,03 • 700 = 21 €. Ομοίως, για x = 1500 βρίσκουμε αύξηση y = 0,03 • 1500 = 45 €.
Με τη σχέση αυτή κάθε τιμή της μεταβλητής x (παλιός μισθός), αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y (αύξηση). Μια τέτοια σχέση στα Μαθηματικά λέγεται συνάρτηση.
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι «η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής x». Έτσι, μπορούμε να λέμε απλά ότι έχουμε ορίσει τη συνάρτηση y = 0,03x. ## Πίνακας Τιμών Η αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και y φαίνεται καλύτερα με τη βοήθεια του πίνακα τιμών. Έτσι, για τη συνάρτηση y = 0,03x έχουμε:
Για x = 700, | y = 0,03 • 700 = 21.
Για x = 800, | y = 0,03 • 800 = 24.
Για x = 900, | y = 0,03 • 900 = 27.
Για x = 1000, | y = 0,03 • 1000 = 30.
Για x = 1100, | y = 0,03 • 1100 = 33.
Τα ζεύγη των τιμών αυτών παρουσιάζονται στον διπλανό πίνακα, o οποίος λέγεται πίνακας τιμών της συνάρτησης y = 0,03x. |
1
Δίνεται η συνάρτηση y = 2x + 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:
Λύση: |
Για x = -2: | y = 2 • (-2) + 3 = -4 + 3 = -1.
Για x = -1: | y = 2 • (-1) + 3 = -2 + 3 = 1.
Για x = 0: | y = 2 • 0 + 3 = 3.
Για x = 1: | y = 2 • 1 + 3 = 2 + 3 = 5.
Για x = 2: | y = 2 • 2 + 3 = 4 + 3 = 7.
Άρα, ο πίνακας τιμών είναι:
2
Ένας ελαιοπαραγωγός έχει υπολογίσει ότι από κάθε κιλό ελιάς που πηγαίνει στο ελαιοτριβείο, παίρνει 0,2 κιλά λάδι. α) Πόσα κιλά λάδι θα πάρει από παραγωγή 500 κιλών ελιών; β) Να εκφράσετε την ποσότητα y σε κιλά του λαδιού, που θα πάρει, ως συνάρτηση της ποσότητας x των ελιών που παράγει. γ) Πόσα κιλά ελιές πρέπει να παράγει, ώστε να πάρει 250 κιλά λάδι; |
Λύση: | α) Αφού από 1 κιλό ελιές παίρνει 0,2 κιλά λάδι, από 500 κιλά ελιές θα πάρει 0,2 • 500 = 100 κιλά λάδι. β) Από x κιλά ελιές θα πάρει 0,2x κιλά λάδι. Δηλαδή y = 0,2x. γ) Από τη συνάρτηση y = 0,2x, για y = 250 κιλά λάδι έχουμε: 250 = 0,2x ή Άρα, θα πρέπει να παράγει 1250 κιλά ελιές.
1. | O! μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται κατά 20 € ο καθένας. Η σχέση που εκφράζει το νέο μισθό y ως συνάρτηση του παλιού μισθού x, είναι:
2. | Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται κατά 15%. Η σχέση που εκφράζει το νέο μισθό y ως συνάρτηση του παλιού μισθού x, είναι:
3. | Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές x και y είναι . H σχέση που εκφράζει το μήκος του y ως συνάρτηση του x, είναι:
4. | Δίνεται τετράγωνο πλευράς x. Η σχέση που εκφράζει το εμβαδόν E του τετραγώνου ως συνάρτηση του x είναι:
5. | Να αντιστοιχίσετε τις συναρτήσεις της στήλης Α του διπλανού πίνακα με τον πίνακα τιμών της στήλης Β. (Στη στήλη Β ένας πίνακας τιμών περισσεύει.) |
1. | Nα συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:
2. | Nα συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:
3. | Οι τιμές ενός καταστήματος ηλεκτρονικών επιβαρύνονται με φόρο 8%. Να εκφράσετε τις τιμές y με φόρο, ως συνάρτηση των τιμών x χωρίς φόρο.
4. | Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 € το μήνα και ποσοστό 7% επί του ποσού των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Να εκφράσετε το συνολικό ποσό y, που κερδίζει το μήνα, ως συνάρτηση του ποσού x των πωλήσεων που πραγματοποιεί
5. | Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές με μήκη x και y (σε cm). α)Αν η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 60 cm, να εκφράσετε την πλευρά y ως συνάρτηση της πλευράς x. β) Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι , να εκφράσετε την πλευρά y ως συνάρτηση της πλευράς x.
6. | Ένα τετράγωνο έχει πλευρά με μήκος x (σε cm). Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε και την περίμετρο Π του τετραγώνου ως συναρτήσεις του x. Στη συνέχεια, να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών:
7. | Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης y = 3x - 5:
8. | Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 70 χιλιόμετρα την ώρα. α) Πόση απόσταση θα έχει διανύσει σε 2 ώρες και πόση σε 5 ημέρες; β) Να εκφράσετε την απόσταση S (σε χιλιόμετρα) που θα έχει διανύσει το αυτοκίνητο ως συνάρτηση του χρόνου t (σε ώρες).