1.1.	Η έννοια της μεταβλητής - Aλγεβρικές παραστάσεις

Μεταβλητή

1
Η ομιλία σε κινητό τηλέφωνο κοστίζει 0,005 € το δευτερόλεπτο. Πόσο κοστίζει ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων, ένα άλλο διάρκειας 15 δευτερολέπτων και ένα άλλο διάρκειας 27 δευτερολέπτων;

Λύση

Εύκολα βέβαια βρίσκουμε ότι:

Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων κοστίζει 10 · 0,005 = 0,05 €
Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 15 δευτερολέπτων κοστίζει 15 · 0,005 = 0,075 €.
Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 27 δευτερολέπτων κοστίζει 27 · 0,005 = 0,135 €.

Μπορούμε λοιπόν να σκεφτούμε ότι το κόστος ενός τηλεφωνήματος θα είναι: (διάρκεια τηλεφωνήματος) · 0,005 €. Για ευκολία, συμβολίζουμε με το γράμμα x τη διάρκεια του τηλεφωνήματος (σε δευτερόλεπτα), οπότε καταλήγουμε ότι το κόστος για κάθε τηλεφώνημα διάρκειας x δευτερολέπτων είναι: x · 0,005 €.

To γράμμα x που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό, λέγεται μεταβλητή.

Φυσικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα (ελληνικά ή λατινικά) για να παραστήσουμε μεταβλητές: y, z, t, α, β, γ, ...

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή ομοίων όρων

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, λέγεται, όπως γνωρίζουμε, αριθμητική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση είναι μια αριθμητική παράσταση. Ομοίως, η παράσταση είναι μία αριθμητική παράσταση.
Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση. Oι προσθετέοι λέγονται όροι αυτής. Ομοίως, η παράσταση είναι μία αλγεβρική παράσταση. Πώς κάνουμε όμως τις πράξεις σε μια αλγεβρική παράσταση; Στο σημείο αυτό μπορεί να μας βοηθήσει λίγο η Γεωμετρία! Ας θυμηθούμε, λοιπόν, τα εμβαδά των ορθογωνίων:

2
Η ομιλία σε κινητό τηλέφωνο κοστίζει 0,005 € το δευτερόλεπτο. Πόσο κοστίζει ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων, ένα άλλο διάρκειας 15 δευτερολέπτων και ένα άλλο διάρκειας 27 δευτερολέπτων;

Λύση

Για να βρούμε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου, υπάρχουν δύο τρόποι:

1ος Τρόπος:
Το μεγάλο ορθογώνιο έχει βάση α + β και ύψος γ, άρα το εμβαδόν του είναι:

2ος Τρόπος:
Το εμβαδόν του (1) είναι: α · γ.
Το εμβαδόν του (2) είναι: β · γ.
άρα το εμβαδόν του είναι: Άρα το εμβαδόν του μεγάλου oρθογωνίου είναι:

Φυσικά, και οι δύο τρόποι θα πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή: (α + β) · γ = α · γ + β · γ, που είναι η γνωστή επιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί και στη μορφή:

Στη μορφή αυτή, η επιμεριστική ιδιότητα μπορεί να μας βοηθήσει να κάνουμε εύκολα πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις:

Παράδειγμα:

7 · α + 8 · α = (7 + 8) · α = 15 · α
x + 4 · x – 2 · x = (1 + 4 – 2) · x = 3 · x
5 · t – 6 · t – 8 · t = (5 – 6 – 8) · t = –9 · t

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράψαμε σε απλούστερη μορφή τις παραπάνω αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων».

Παρατήρηση:

Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο (·) του πολλαπλασιασμού μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Γράφουμε δηλαδή 3xy αντί για 3·x·y. Eπίσης, γράφουμε 2(4xy – 1) + 3(2 – 5x) αντί για 2 ·( 4· x· y – 1) + 3 ·( 2 – 5 · x ).

To σύμβολο του πολλαπλασιασμού θα χρησιμοποιείται βέβαια, για τον πολλαπλασιασμό αριθμών: 3 · 5 ή 3·(–5).

1
Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις: (α) 2x + 5x, (β) 3α + 4α – 12α, (γ) ω + 3ω + 5ω + 7ω.

Λύση:

Έχουμε ότι:

(α) 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x

(β) 3α + 4α – 12α = (3 + 4 – 12)α = –5α

(γ) ω + 3ω + 5ω + 7ω = (1 + 3 + 5 + 7)ω = 16ω.

2
Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) 4y + 3x – 2y + x, (β) y + 2ω – 3y + 2 + ω + 5.

Λύση:

Έχουμε ότι:

(α) 4y + 3x – 2y + x = 4y – 2y + 3x + x = (4 – 2)y + (3 + 1)x = 2y + 4x

(β) y + 2ω – 3y + 2 + ω + 5 = y – 3y + 2ω + ω + 2 + 5 = (1 – 3)y + (2 + 1)ω + (2 + 5) = –2y + 3ω + 7.

3
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8, όταν x = –0,45.

Λύση:

Aπλοποιούμε πρώτα την παράσταση Α:

A= 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8 =
= 2x + 6 – 4x + 4 – 8 = 2x – 4x + 6 + 4 – 8 = –2x + 2

Eπομένως, όταν x = –0,45, είναι: Α = –2·(–0,45) + 2 = 0,9 + 2 = 2,9.

4
Να υπολογίσετε την περίμετρο του παρακάτω τετραπλεύρου, όταν x + y = 10.

Λύση:

H περίμετρος του τετραπλεύρου είναι ίση με:

Π= x + (y + 3) + (x + 2) + (y – 2) =

= x + y + 3 + x + 2 + y – 2 =

= x + x + y + y + 3 + 2 – 2 = 2x + 2y + 3 =

= 2(x + y) + 3

Eπειδή x + y = 10, είναι Π = 2·10 + 3 = 20 + 3 = 23.

Nα αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α του διπλανού πίνακα με ένα στοιχείο της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α	ΣΤΗΛΗ B
α) 2x+5x–3x	i) –4x
β) x–3x+4x	ii) –5x
γ) –x+3x–6x	iii) 4x
δ) –2x+4x–7x	iv) 2x

Για κάθε αλγεβρική παράσταση της 1ης στήλης του διπλανού πίνακα, δίνονται τρεις απαντήσεις Α, Β και Γ, από τις οποίες μία μόνο είναι σωστή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

	Α	Β	Γ
α) 2x–4x+6x=	12x	–2x	4x
β) 3y–3y+4y=	4y	10y	–5y
γ) –5α+3α–α=	3α	–3α	9α
δ) 3α–4β+4β–5α=	8α+8β	2α	–2α

Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α	ΣΤΗΛΗ B
α) (3x + 5) + (x – 6)	i) –4x + 11
β) (–3x + 5) – (x –6)	ii) –4x + 1
γ) (–3x + 5) – (x + 6)	iii) –4x – 1
δ) –(3x + 5) – (x – 6)	iv) 4x – 1

1.	Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 12. β) Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. γ) Την περίμετρο ενός ορθογωνίου, που το μήκος του είναι 2 m μεγαλύτερο από το πλάτος του.
2.	Να χρησιμοποιήσετε μια μεταβλητή για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για να αγοράσουμε 5 κιλά πατάτες, αν γνωρίζουμε την τιμή του ενός κιλού. β) Την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν γνωρίζουμε ότι αυτή είναι η αναγραφόμενη τιμή συν 19% ΦΠΑ.
3.	Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 20x – 4x + x β) –7α – 8α – α γ) 14y + 12y + y δ) 14ω – 12ω – ω + 3ω ε) –6x + 3 + 4x – 2 στ) β – 2β + 3β – 4β
4.	Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 2x – 4y + 3x + 3y β) 6ω – 2ω + 4α + 3ω + α γ) x + 2y – 3x – 4y δ) –8x + ω + 3ω + 2x – x
5.	Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις A, B και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή τους: α) Α = 3(x + 2y) – 2(2x + y), όταν x = 1, y = –2. β) Β = 5(2α – 3β) + 3(4β – α), όταν α = –3, β = 5.

Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

α) Α = 2(α–3β) + 3(α + 2β), όταν α = 0,02 και β = 2005.

β) Β = 3(x + 2y) + 2(3x + y) + y, όταν x + y = 1/9.

Oι διαιτολόγοι, για να εξετάσουν αν ένα άτομο είναι αδύνατο ή παχύ, χρησιμοποιούν τον αριθμό B/U² (δείκτης σωματικού βάρους ή body mass index, δηλαδή ΒΜΙ), όπου Β το βάρος του ατόμου και υ το ύψος του σε μέτρα. Ανάλογα με το αποτέλεσμα αυτό, το άτομο κατατάσσεται σε κατηγορία σύμφω να με τον παρακάτω πίνακα:

	ΓΥΝΑΙΚΕΣ	ΑΝΔΡΕΣ
Κανονικό βάρος	18,5 - 23,5	19,5 - 24,9
1ος βαθμός παχυσαρκίας	23,6 - 28,6	25 - 29,9
2ος βαθμός παχυσαρκίας	28,7 - 40	30 - 40
3ος βαθμός παχυσαρκίας	πάνω από 40	πάνω από 40

Nα χαρακτηρίσετε:

α) Το Γιώργο, με βάρος 87 κιλά και ύψος 1,75 μέτρα.

β) Την Αλέκα, με βάρος 64 κιλά και ύψος 1,42 μέτρα.

γ) Τον εαυτό σας.