Α1.3: Επίλυση Τύπων

1.3.	Επίλυση Τύπων

Σε πολλές επιστήμες χρησιμοποιούμε ισότητες που συνδέουν μεταξύ τους μεγέθη.

Για παράδειγμα:

Στη Φυσική ο όγκος V με τη μάζα m και την πυκνότητα ρ συνδέονται με τον τύπο m = ρ • V.

Στη Γεωμετρία ο όγκος V ενός παραλληλεπιπέδου δίνεται από τον τύπο V = α • β • γ,

όπου α, β, γ είναι οι τρεις διαστάσεις του.

Στις τραπεζικές συναλλαγές ο τόκος ενός δανείου δίνεται από τον τύπο :

όπου K το κεφάλαιο, t ο χρόνος διάρκειας του δανείου και E το επιτόκιο της τράπεζας.

Όταν έχουμε έναν τύπο στον οποίο γνωρίζουμε τις τιμές που παίρνουν όλες οι μεταβλητές του εκτός

από μία, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής.

Αυτό γίνεται, αν επιλύσουμε τον τύπο ως προς την άγνωστη μεταβλητή.

Στις Αγγλοσαξονικές χώρες (κυρίως στις ΗΠΑ) για τη μέτρηση της θερμοκρασίας χρησιμοποιούνται οι βαθμοί Φαρενάιτ (°F). Στον υπόλοιπο κόσμο όμως -όπως και στη χώρα μας- χρησιμοποιούνται οι βαθμοί Κελσίου (°C). Η σχέση που συνδέει τους °F και τους °C, είναι: F = 1,8C + 32

α) Ένας Αμερικανός που θέλει να ταξιδέψει στην Ελλάδα πληροφορείται ότι, στην Αθήνα έχει θερμοκρασία 20°C. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να μετατρέψει αυτή τη θερμοκρασία σε °F:

β) Ένας Έλληνας που θέλει να ταξιδέψει στη Νέα Υόρκη πληροφορείται ότι, εκεί έχει θερμοκρασία 41°F. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να μετατρέψει αυτή τη θερμοκρασία σε °C;

Λύση

α) Όταν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία σε °C, είναι εύκολο να βρούμε την αντίστοιχη θερμοκρασία σε °F,

γιατί ο τύπος F = 1,8C + 32 "λειτουργεί αμέσως" (είναι λυμένος, όπως λέμε, ως προς F).

Για C = 20 είναι:

F = 1,8 • 20 + 32 = 36 + 32 = 68

Άρα, στην Αθήνα έχει θερμοκρασία 68°F.

β) Όταν θέλουμε να μετατρέψουμε °F σε °C, τα πράγματα με τον τύπο F = 1,8C + 32

είναι λίγο πιο δύσκολα:

Για F = 41 είναι 41 = 1,8C + 32 και στη συνέχεια πρέπει να λύσουμε την εξίσωση αυτή ως προς C:

Άρα, στη Νέα Υόρκη έχει θερμοκρασία 5°C.

Να μετατρέψετε σε βαθμούς Κελσίου τις θερμοκρασίες τριών ακόμα Αμερικανικών πόλεων:

Βοστώνη: 23°F Βαλτιμόρη: 32°F Λος Άντζελες: 59°F

Λύση

Θα πρέπει, βέβαια, να λύσουμε τρεις εξισώσεις όπως η παραπάνω! Αντί να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία τρεις φορές, λύνουμε πρώτα τον τύπο F = 1,8C + 32 ως προς C:

1

Λύση:

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών:

Άρα

Να επιλύσετε τους παρακάτω τύπους των Μαθηματικών και της Φυσικής ως προς τη μεταβλητή που ζητείται:
1.	Μήκος κύκλου: L = 2πρ, ως προς ρ.
2.	Περίμετρος ορθογωνίου: P = 2x + 2y, ως προς y.
3.	Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου: Ε = 2πρυ, ως προς ρ.
4.	Εξίσωση ευθείας: αx + βy + γ = 0, ως προς y, με β ≠ 0
5.	Εμβαδόν παραλληλεπιπέδου: Ε = 2(xy + yω + ωx) ως προς ω.
6.	Ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:
7.	Εμβαδόν τραπεζίου :
8.
9.	Ρ = Ρ0 + εh, ως προς h.
10.	Q = mcθ, ως προς c.

11.
12.
13.	Για ένα ιδεώδες αέριο σε κανονική πίεση, ο όγκος του σε θερμοκρασία θ °C δίνεται από τον τύπο: όπου V0 ο όγκος στους 0 °C. α) Να λύσετε τον τύπο αυτό ως προς θ. β) Στους 0°C ένα ιδεώδες αέριο έχει όγκο Σε ποια θερμοκρασία έχει όγκο ;
14.	Εμπειρικές μελέτες για τη χιονόπτωση στη Βρετανία κατέληξαν στο εξής συμπέρασμα: ο αριθμός D των ημερών ενός έτους στη διάρκεια των οποίων πέφτει χιόνι, δίνεται κατά προσέγγιση από τον τύπο: D = 0,155 • h + 11, όπου h είναι το υψόμετρο ενός τόπου σε μέτρα α) Σύμφωνα με αυτό τον τύπο, πόσες ημέρες χιονίζει σε έναν τόπο που είναι παραθαλάσσιος (h = 0); β) Σε ποιο υψόμετρο χιονίζει 6 μήνες το χρόνο (180 ημέρες) και σε ποιο υψόμετρο χιονίζει κάθε ημέρα;