1.5.	Ανισώσεις α΄ βαθμού

Ανισώσεις

Όπως γνωρίζουμε, η σχέση που συνδέει τα βάρη μιας ζυγαριάς που δεν ισορροπεί, είναι μία σχέση ανισότητας.

Για παράδειγμα, για τα βάρη α και β του διπλανού σχήματος έχουμε την ανισότητα:

α < β ή ισοδύναμα, την ανισότητα β > α.

Μερικές φορές, επίσης, χρησιμοποιούμε το σύμβολο «≤» ή το σύμβολο «≥».

Γράφουμε: α ≤ β, όταν είναι α = β ή α < β και διαβάζουμε: «το α είναι μικρότερο ή ίσο του β».

Παρατήρηση:

Αν ένας αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β, τότε ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β στην

ευθεία των αριθμών. Η ίδια ανίσωση βέβαια μπορεί να γραφεί και β > α, γιατί ο β βρίσκεται «πιο δεξιά»

από τον α.

Δίνονται οι αριθμοί α και β του παρακάτω σχήματος. Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=» στη θέση των κενών.

α) α........β β) α + 2........β + 2

γ) α + 12.....β + 12 δ) α – 7........β – 7

Λύση

α) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β στην ευθεία των αριθμών, οπότε α < β.

β) Ο α + 2 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β + 2, οπότε α + 2 < β + 2.

γ) Ο α + 12 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β + 12, οπότε α + 12 < β + 12

δ) Ο α – 7 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β – 7, οπότε α – 7 < β – 7.

Γενικά, για την πρόσθεση και την αφαίρεση, ισχύει:

Αν και στα δύο μέλη μιας ανίσωσης προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή:

Αν α < β τότε α + γ < β + γ και α – γ < β – γ.

Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α – γ > β – γ.

α) α.....β β) 2α.....2β γ) 5α.....5β

Λύση

α) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β.

β) Ο 2α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον 2β, οπότε 2α < 2β.

γ) Ο 5α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον 5β, οπότε 5α < 5β.

Δίνονται οι αριθμοί α και β του διπλανού σχήματος.

Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=» στη θέση των κενών.

α) α.....β β) -2α.....-2β γ) -5α.....-5β

Λύση

α) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β.

β) Ο -2α βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον -2β, οπότε -2α > -2β.

γ) Ο -5α βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον -5β, οπότε -5α > -5β.

Γενικά, ισχύει για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση:

Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει

και πάλι μια ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή:

Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την αντίστροφη φορά. Δηλαδή:

Επίλυση ανισώσεων

Στο διπλανό σχήμα η ζυγαριά δεν ισορροπεί! Αν ονομάσουμε x το βάρος κάθε πράσινου κύβου (τα μπλε βαρίδια ζυγίζουν 50 γραμμάρια το καθένα):

α) Με τη βοήθεια του x να εκφράσετε με μια σχέση ανίσωσης το γεγονός ότι η ζυγαριά δεν ισορροπεί.

β) Τι μπορούμε να πούμε για το βάρος x κάθε πράσινου κύβου;

Λύση

α) Στον 1ο δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν 3 πράσινοι κύβοι και δύο βαρίδια των 50 γραμμαρίων, δηλαδή συνολικό βάρος 3x + 2 • 50 = 3x + 100 γραμμάρια.

Στον 2ο δίσκο υπάρχει 1 πράσινος κύβος και 8 βαρίδια των 50 γραμμαρίων δηλαδή, συνολικό βάρος

x + 8 • 50 = x + 400 γραμμάρια.

Ο 1ος δίσκος είναι πιο βαρύς, οπότε ισχύει: 3x + 100 > x + 400.

β) Η ανισότητα αυτή που περιέχει τον άγνωστο χ λέγεται ανίσωση. Για να βρούμε τον χ ακολουθούμε παρόμοιο τρόπο με αυτόν που ακολουθήσαμε για την επίλυση εξισώσεων.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, από την ανίσωση που βρήκαμε (x > 150) δεν μπορούμε να συμπεράνουμε πόσο ακριβώς ζυγίζει κάθε πράσινος κύβος, συμπεραίνουμε όμως ότι το βάρος του είναι οπωσδήποτε μεγαλύτερο από 150 γραμμάρια. Μπορεί να είναι 150,1 γραμμάρια, μπορεί να είναι 200 γραμμάρια ή μπορεί να είναι 1.000 κιλά! Δηλαδή, όταν λύνουμε μία ανίσωση, συνήθως δε βρίσκουμε μία μόνο λύση, αλλά άπειρες! Γι' αυτό παριστάνουμε αυτές τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Το λευκό κυκλάκι πάνω ακριβώς από το 150 δείχνει ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι λύση της ανίσωσης.

Μια ανίσωση που περιέχει μία μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής, λέγεται ανίσωση με έναν άγνωστο.

Ο τρόπος που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση, είναι παρόμοιος με τον τρόπο που ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων. Δηλαδή:

	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
	Κάνουμε αναγωγές ομοίων ορων.
	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης.

1
Να λύσετε την ανίσωση 2(x - 1) - 3 (x + 1) 4 (x + 2) + 12. Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Λύση:

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά :

Να λύσετε την ανίσωση

Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Λύση:

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά:

Να λύσετε την ανίσωση 2(x - 1) - 3 (x + 2) < 4(x + 1) - 5(x - 2).

Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Λύση:

Να λύσετε την ανίσωση x + 2 + 2(x - 3) > 3x + 4.

Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Λύση:

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά: x+ 2 + 2x -6 > 3x + 4

x + 2x - 3x >4 - 2 + 6

0x > 8

Παρατηρούμε ότι, η ανίσωση αυτή δεν αληθεύει για καμιά τιμή του αριθμού x.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη.

Στην παράσταση των λύσεων αυτών στην ευθεία των αριθμών δε θα σημειώσουμε τίποτα,

γιατί κανένας αριθμός δεν είναι λύση αυτής της ανίσωσης.

Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 3x - 5 x + 3 και 4 < 14 + 5x.

Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Λύση:

Να λύσετε την ανίσωση :

Λύση:

Να συμπληρώσετε τα κενά:

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη):

	ΣΩΣΤΟ	ΛΑΘΟΣ
α) Αν α < β τότε α – 16 < β – 16.
β) Αν α < β τότε -α < -β.
γ) Αν α < 0 τότε 2α < α.
δ) Αν α > 1 τότε
ε) Αν α < 5 τότε α < 8.
στ) Η ανίσωση 3x – 5 > 7 έχει λύση τον αριθμό x = 4.
ζ) Η ανίσωση x + 500 > x + 499 αληθεύει για κάθε αριθμό x.
η) Η ανίσωση x + 500 > x + 501 αληθεύει για κάθε αριθμό x.
θ) Η ανίσωση 2x – 3 < 3x – 2 έχει λύσεις τους αριθμούς x < 1.

1.	Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:
2.	Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:
3.	Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:
4.	Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:
5.	Να λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις των ανισώσεων:

6.	Για ποιες τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού μ, έχουμε ότι ο Α = 2 (μ - 3) - 4 είναι αρνητικός;
7.	Για ποιες τιμές του αριθμού α, η ανίσωση 2x - 3α + 1 > α(x - 1) έχει λύση τον αριθμό x = 2;
8.	H Άννα είχε τριπλάσια χρήματα από τη Μαρία, αλλά δαπάνησε 14 € και τώρα έχει λιγότερα από τη Μαρία. Να αποδείξετε ότι η Μαρία έχει λιγότερα από 7 €.
9.	Ο Γιώργος έχει γράψει δύο διαγωνίσματα με βαθμούς 12 και 14. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο επόμενο διαγώνισμα για να έχει μέσο όρο πάνω από 14;
10.	Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας «Parlanet» προτείνει στους πελάτες της δύο «πακέτα» συνδρομής: 1ο: πάγιο 7,50 € το μήνα και χρέωση 0,254 € το λεπτό. 2ο: πάγιο 15 € το μήνα και χρέωση 0,204 € το λεπτό. Από πόσο χρόνο ομιλίας και πάνω συμφέρει το 2ο πακέτο;
11.	Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου έχει μήκος 80 m, περίμετρο μικρότερη από 240 m και εμβαδόν μεγαλύτερο από 3000m². Πόσα μέτρα μπορεί να είναι το πλάτος του;