2.6.	Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

Άθροισμα διανυσμάτων

Στη δραστηριότητα 2 της προηγούμενης παραγράφου είδαμε ότι η τελική μετατόπιση ήταν το διάνυσμα ΑΕ. Οι διαδοχικές μετατοπίσεις ήταν τα διανύσματα:

τα οποία λέγονται διαδοχικά διανύσματα, γιατί το τέλος του καθενός είναι η αρχή του επομένου. Είναι φανερό ότι το άθροισμα των διαδοχικών μετατοπίσεων ισούται με την τελική μετατόπιση, δηλαδή:

Με τον τρόπο αυτό ορίζεται το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων. Τι γίνεται, όμως, όταν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά; Ας δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα.

Ο Σέργιος είναι καπετάνιος ενός ιστιοπλοϊκού, που έχει αναμμένη τη μηχανή του και κρατάει σταθερή πορεία. Χωρίς να ελέγξει την κατεύθυνση του ανέμου που φυσάει, σηκώνει το ένα πανί. Το ιστιοπλοϊκό αρχίζει να αλλάζει πορεία, καθώς ο άνεμος φυσά προς άλλη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Αν είναι η δύναμη που ασκεί στο σκάφος η μηχανή και η δύναμη που ασκεί στο σκάφος ο άνεμος, προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το ιστιοπλοϊκό;

Λύση

Έχουμε λοιπόν δύο δυνάμεις :

που ασκούνται στο ιστιοπλοϊκό ταυτόχρονα και θέλουμε να βρούμε τη συνισταμένη δύναμη, όπως λέμε στη Φυσική, δηλαδή το άθροισμα των δύο διανυσμάτων :

Μεταφέρουμε παράλληλα το διάνυσμα , έτσι ώστε να γίνει διαδοχικό με το ,

όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Τότε :

Οι δυνάμεις και λέγονται συνιστώσες της .

Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε το είναι να δούμε ότι αποτελεί τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.

Επομένως, έχουμε δύο μεθόδους, για να βρίσκουμε το άθροισμα διανυσμάτων.

Α. Η μέθοδος του πολυγώνου
Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των θα είναι το διάνυσμα που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου.
Β. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου
Μεταφέρουμε τα διανύσματα , έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα και . Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Διαφορά διανυσμάτων

Η διαφορά δύο διανυσμάτων και συμβολίζεται με και ορίζεται ως άθροισμα του με το αντίθετο διάνυσμα του , δηλαδή με το

Διαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η διαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή Ο, είναι ένα διάνυσμα με αρχή το πέρας του δευτέρου και πέρας το πέρας του πρώτου. Επομένως για τις διαγωνίους και του διπλανού παραλληλογράμμου ισχύει:

Το μηδενικό διάνυσμα

Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται.

Το διάνυσμα αυτό λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με

Επομένως, το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά.

Το μέτρο του είναι ίσο με 0. Δηλαδή:

Δίνεται τυχαίο τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι:

Λύση:

Τρεις δυνάμεις ασκούνται στο ιστιοπλοϊκό του διπλανού σχήματος: η από τη μηχανή του, η από τα πανιά του (αέρας) και το ρεύμα της θάλασσας .

Σε ποιο νησί κατευθύνεται το ιστιοπλοϊκό;

Λύση:

Το ιστιοπλοϊκό κινείται κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης των τριών αυτών δυνάμεων, δηλαδή του αθροίσματος

Αν σχηματίσουμε το άθροισμα αυτών των δυνάμεων, η συνισταμένη τους δείχνει ότι το ιστιοπλοϊκό κατευθύνεται προς τη Σέριφο.

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ για το οποίο ισχύει:

Λύση:

Το διάνυσμα ισούται με το μηδενικό διάνυσμα, οπότε η αρχή και το πέρας ταυτίζονται. Επομένως, το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Α.

Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

α)	Αν τότε: Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Β. Το Α είναι το μέσο του ΒΓ. Γ. Το Β ταυτίζεται με το Γ.
β)	Αν τότε: Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Β. Το Β είναι το μέσο του ΑΓ. Γ. Το Α ταυτίζεται με το Γ.
γ)	Αν τότε: Α. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Β. ΑΔ = ΒΓ Γ. Το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο.
δ)
ε)

Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.
9.	Μία βάρκα διασχίζει κάθετα ένα ποτάμι. Αν η βάρκα κινείται μόνο από τη μηχανή της, θα έχει ταχύτητα με μέτρο 2 m/s. Η βάρκα παρασύρεται, όμως, από το ρεύμα του ποτα- μού που έχει ταχύτητα 0,6 m/s. α) Να σχεδιάσετε τις δύο ταχύτητες. β) Να σχεδιάσετε την διεύθυνση που θα πάρει τελικά η βάρκα.
10.