3.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ποσά αντιστρόφως ανάλογα - Η υπερβολή

Όπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, όταν ένα σώμα κινείται, η ταχύτητά του δίνεται από τη σχέση:

 

1

Η απόσταση s δύο πόλεων είναι 60 χιλιόμετρα. Αν με t παραστήσουμε το χρόνο (σε ώρες) που χρειάζεται ο ποδηλάτης να διανύσει την απόσταση των δύο πόλεων:

α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Τι παριστάνει το γινόμενο υ • t;

 

β) Γιατί λέμε ότι η ταχύτητα υ και ο χρόνος t είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα;

 

γ) Να εκφράσετε την ταχύτητα υ ως συνάρτηση του χρόνου t. Χρησιμοποιήστε τις τιμές του πίνακα του ερωτήματος (α) για να σχεδιάσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Λύση

α) Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Παρατηρούμε ότι το γινόμενο υ • t παριστάνει την απόσταση s και είναι πάντοτε 60, δηλαδή υ • t = 60.

 

β) Τα ποσά υ και t, όπως είδαμε και σε προηγούμενες τάξεις, λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, γιατί όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθμό, τότε η τιμή του άλλου διαιρείται με τον αριθμό αυτό.

Το γινόμενο υ • t των ποσών υ και t, αν είναι αντιστρόφως ανάλογα, είναι σταθερό.

 

γ) Σε σύστημα συντεταγμένων τοποθετούμε όλα τα σημεία που έχουν συντεταγμένες τα ζεύγη (t,υ) του παραπάνω πίνακα. Mια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης, φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

 

Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών τους είναι σταθερό. Αν α ≠ 0 είναι το σταθερό γινόμενο των x και y, τότε το y εκφράζεται ως συνάρτηση του x από τον τύπο

 

Σε δύο ανάλογα ποσά x και y, οι τιμές τους μπορεί να είναι και αρνητικοί αριθμοί.

 

2

α) Δίνεται η συνάρτηση

Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα τιμών να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Λύση

α) Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Σε σύστημα συντεταγμένων τοποθετούμε τα σημεία που έχουν συντεταγμένες τα ζεύγη τιμών (x, y) του παραπάνω πίνακα. Τα σημεία αυτά σχηματίζουν δύο γραμμές, μία στο πρώτο τεταρτημόριο και μία στο τρίτο, όπως στο διπλανό σχήμα.

 

β) Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

 

 

Τα σημεία αυτά σχηματίζουν δύο γραμμές, μία στο δεύτερο τεταρτημόριο και μία στο τέταρτο τεταρτημόριο, όπως στο διπλανό σχήμα.

 

 

Οι γραφικές παραστάσεις που κάναμε λέγονται υπερβολές και οι δύο γραμμές που τις συνθέτουν λέγονται κλάδοι της υπερβολής.

Γενικά:

 

 

H γραφική παράσταση της συνάρτησης  
δύο κλάδους που βρίσκονται:

 

, λέγεται υπερβολή και αποτελείται από
  • Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α > 0.
  • Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α < 0.

 

Και στις δύο περιπτώσεις η γραφική παράσταση μιας υπερβολής έχει:

  • Κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.
  • Άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις
    y = x και y = –x.

 
1

α) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις υπερβολές :

β) Ποιες είναι οι συμμετρίες που ισχύουν μεταξύ των κλάδων των παραπάνω υπερβολών;

 

Λύση:

α) Σχηματίζουμε τους πίνακες τιμών:

Κατόπιν σχεδιάζουμε τις δύο υπερβολές.

β) Αν ονομάσουμε τους τέσσερις κλάδους Κ1, Κ2,Κ3,Κ4 όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε έχουμε ότι:

Ο Κ1 είναι συμμετρικός με τον Κ3 ως προς τον άξονα y'y.
O Κ1 είναι συμμετρικός με τον Κ4 ως προς τον άξονα x'x.
O Κ1 είναι συμμετρικός με τον Κ2 ως προς την αρχή των αξόνων.

 

Παρόμοιες συμμετρίες ισχύουν και για τους άλλους κλάδους.

 

 

 

 1.

Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα;

 

 2.
Να χαρακτηρίσετε ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) τις παρακάτω προτάσεις: ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α)

 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 2

   

β)

 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.

   

γ)

 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

βρίσκεται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο
των αξόνων.


   

δ)

 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των
αξόνων.

   

 3.

Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις (α), (β) και (γ) τριών υπερβολών.

Να αντιστοιχίσετε σε καθεμιά την εξίσωσή της.

 

 

 1.

Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

 2.

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

 3.

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

 4.

H απόσταση Γης - Σελήνης είναι περίπου ΓΣ = 380.000 χιλιόμετρα.

α) Ποια είναι η ταχύτητα σε km/h ενός πυραύλου που διανύει την απόσταση ΓΣ σε 3 ημέρες;

 

β) Να εκφράσετε την ταχύτητα υ ενός πυραύλου ως συνάρτηση του χρόνου t που χρειάζεται για να διανύσει την απόσταση ΓΣ.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.

 5.

Θεωρούμε όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 36cm².

α) Ονομάζοντας x και y τις διαστάσεις ενός τέτοιου ορθογωνίου να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Τι έχετε να παρατηρήσετε για τα μεγέθη x και y;

β) Να εκφράσετε το πλάτος y ενός τέτοιου ορθογωνίου ως συνάρτηση του μήκους x.

γ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα ορθογωνίων αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.